3 Metode Penarikan Kesimpulan dalam Logika Matematika dan Contohnya

Penarikan kesimpulan dalam logika matematika tidak bisa dilakukan sembarangan. Sebab, ada aturan yang perlu diperhatikan supaya menghasilkan kesimpulan yang benar dan valid.

Dalam logika matematika, terdapat tiga cara atau metode penarikan kesimpulan, yaitu modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme. Simak pengertian, rumus, dan contoh soalnya.

Lihat Juga : Pengertian dan Contoh Soal Persamaan Linear Satu Variabel

Apa itu penarikan kesimpulan?

Penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait, seperti dikutip dari buku Matematika: Belajar Ringkas Matematika (2020).

Sementara pernyataan majemuk atau premis adalah suatu pernyataan benar yang diperoleh dari penggabungan beberapa pernyataan tinggal yang ditandai dengan kata hubung seperti dan, tetapi, jika-maka, dan sebagainya.

Contoh pernyataan majemuk: 'Jika musim hujan, maka di Jakarta terjadi banjir.'

Nah, dengan menggunakan prinsip logika matematika, dapat ditarik kesimpulan yang benar dan valid berdasarkan pernyataan atau premis-premis yang ada.

Penarikan kesimpulan dalam logika matematika

Setidaknya terdapat tiga metode dasar penarikan kesimpulan dalam logika matematika, yaitu modus ponens, modus tollens, dan prinsip silogisme.

Berikut penjelasan dilengkapi contoh dan pembahasannya.

1. Modus ponens

Modus ponens adalah suatu argumentasi yang sah dengan penarikan kesimpulan didasarkan premis berbentuk p ⇒ q dan p yang menghasilkan konklusi q.

Maksudnya, jika pernyataan p benar dan pernyataan p ⇒ q juga benar, maka pernyataan q sebagai konklusi adalah benar.

Secara simbolis, modus ponens memiliki struktur atau kaidah sebagai berikut:

atau,

Dengan demikian, maka rumus modus ponens adalah: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q atau p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q.

Perhatikan contoh berikut dengan menggunakan metode modus ponens.

Contoh modus ponens 1)
Premis 1: Jika listrik mati maka lampu tidak menyala
Premis 2: Listrik mati
Konklusi: Lampu tidak menyala.

Pembahasan:
'Jika listrik mati' adalah p
'maka lampu tidak menyala' adalah q
'listrik mati' adalah p

Selanjutnya gunakan rumus:
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
∴ q (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah q, yaitu 'Lampu tidak menyala'.

Contoh modus ponens 2)
Premis 1: Jalanan licin
Premis 2: Jika hujan turun maka jalanan licin
Konklusi: Hujan turun

Pembahasan:
'Jalanan licin' adalah p
'Jika hujan turun' adalah q
'Maka jalanan licin' adalah p

Selanjutnya gunakan rumus:
p (premis 1)
p ⇒ q (premis 2)
∴ q (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah q, yaitu 'Hujan turun'.

2. Modus tollens

Modus tollens adalah suatu argumentasi dengan penarikan kesimpulan didasarkan premis berbentuk p ⇒ q dan ~q yang menghasilkan konklusi ~p.

Maksudnya, jika p terjadi maka q terjadi, dan ternyata q tidak terjadi, maka disimpulkan p tidak terjadi.

Secara simbolis, modus tollens memiliki struktur atau kaidah sebagai berikut:

Dengan demikian, maka rumus modus tollens adalah: [(p ⇒ q) ∧ ~q] ⇒ ~p.

Perhatikan contoh berikut dengan menggunakan metode modus tollens.

Contoh modus tollens 1)
Premis 1: Jika Doni bekerja maka Doni mendapat gaji
Premis 2: Doni tidak mendapat gaji
Konklusi: Doni tidak bekerja.

Pembahasan:
'Jika Doni bekerja' adalah p
'maka Doni mendapat gaji' adalah q
'Doni tidak mendapat gaji' adalah ~q

Selanjutnya gunakan rumus:
p ⇒ q (premis 1)
~q (premis 2)
∴ ~p (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah ~p, yaitu 'Doni tidak bekerja'.

Contoh modus tollens 2)
Premis 1: Jika saya rutin berolahraga maka saya akan sehat
Premis 2: Saya tidak sehat
Konklusi: Saya tidak rutin berolahraga.

Pembahasan:
'Jika saya rutin berolahraga' adalah p
'maka saya akan sehat' adalah q
'Saya tidak sehat' adalah ~q

Selanjutnya gunakan rumus:
p ⇒ q (premis 1)
~q (premis 2)
∴ ~p (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah ~p, yaitu 'Saya tidak rutin berolahraga'.

3. Silogisme

Silogisme adalah penarikan kesimpulan dari dua pernyataan atau premis majemuk, yaitu p ⇒ q dan q ⇒ r yang menghasilkan konklusi p ⇒ r.

Secara simbolis, prinsip silogisme memiliki struktur atau kaidah sebagai berikut:

Dengan demikian, maka rumus prinsip silogisme adalah: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r).

Perhatikan contoh berikut dengan menggunakan prinsip silogisme.

Contoh silogisme 1)
Premis 1: Jika harga BBM naik maka biaya transportasi umum naik
Premis 2: Jika biaya transportasi umum naik maka harga-harga naik
Konklusi: Jika harga BBM naik maka harga-harga naik.

Pembahasan:
'Jika harga BBM naik' adalah p
'maka biaya transportasi umum naik' adalah q
'maka harga-harga naik' adalah r

Selanjutnya gunakan rumus:
p ⇒ q (premis 1)
q ⇒ r (premis 2)
∴ p ⇒ r (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah p ⇒ r, yaitu 'Jika harga BBM naik maka harga-harga naik'.

Contoh silogisme 2)
Premis 1: Jika ¹/_x > 1, maka 0 < x < 1
Premis 2: Jika 0 < x < 1, maka log x < 0
Konklusi: Jika ¹/_x > 1, maka log x < 0

Pembahasan:
'Jika ¹/_x > 1' adalah p
'0 < x < 1' adalah q
'log x < 0' adalah r

Selanjutnya gunakan rumus:
p ⇒ q (premis 1)
q ⇒ r (premis 2)
∴ p ⇒ r (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah p ⇒ r, yaitu 'Jika ¹/_x > 1, maka log x < 0'.

Lihat Juga : Pengertian Konjungsi, Macam-Macam, dan Contohnya dalam Kalimat

Contoh soal penarikan kesimpulan logika matematika dan pembahasan

Soal 1)
Premis 1: Jika sakit maka ibu minum obat
Premis 2: Ibu sakit
Konklusi: ?

Gunakan prinsip modus ponens,
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
∴ q (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah q, yaitu 'Ibu minum obat'.

Soal 2)
Premis 1: Jika Romi rajin belajar maka ia akan lulus ujian
Premis 2: Romi rajin belajar
Konklusi: ?

Gunakan prinsip modus ponens,
p ⇒ q (premis 1)
p (premis 2)
∴ q (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah q, yaitu 'Romi akan lulus ujian'.

Soal 3)
Premis 1: Jika hari hujan maka sekolah libur
Premis 2: Sekolah tidak libur
Konklusi: ?

Gunakan prinsip modus tollens,
p ⇒ q (premis 1)
~q (premis 2)
∴ ~p (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah ~p, yaitu 'Hari tidak hujan'.

Soal 4)
Premis 1: Jika Andi menang bertanding maka ia mendapat bonus
Premis 2: Andi tidak mendapat bonus
Konklusi: ?

Gunakan prinsip modus tollens,
p ⇒ q (premis 1)
~q (premis 2)
∴ ~p (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah ~p, yaitu 'Andi tidak menang dalam bertanding'.

Soal 5)
Premis 1: Jika Kohar malas belajar maka ayah marah
Premis 2: Jika ayah marah, maka Kohar tidak dapat uang saku
Konklusi: ?

Gunakan prinsip silogisme,
p ⇒ q (premis 1)
q ⇒ r (premis 2)
∴ p ⇒ r (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah p ⇒ r, yaitu 'Jika Kohar malas belajar maka tidak dapat uang saku'.

Soal 6)
Premis 1: Jika tiga buah sudut segitiga sama besar maka segitiga itu sama sisi
Premis 2: Segitiga itu tidak sama sisi
Konklusi: ?

Gunakan prinsip modus tollens,
p ⇒ q (premis 1)
~q (premis 2)
∴ ~p (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah ~p, yaitu 'Ketiga buah sudut segitiga tidak sama besar'.

Soal 7)
Premis 1: Semua pekerja adalah pegawai lepas
Premis 2: Semua penghuni barak adalah pekerja
Konklusi: ?

Gunakan prinsip silogisme,
p ⇒ q (premis 1)
r ⇒ p (premis 2)
∴ r ⇒ q (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah r ⇒ q, yaitu 'Semua penghuni barak adalah pegawai lepas'.

Soal 8)
Premis 1: Semua burung tidak bersirip
Premis 2: Semua kuda makan rumput
Konklusi: ?

Kedua pernyataan di atas tidak memiliki kaitan, sebab pada prinsip silogisme harus mengambil kesimpulan dari semua pernyataan yang terkait. Maka jawabannya adalah 'Tidak bisa ditarik kesimpulan'.

Soal 9)
Premis 1: Jika suatu bilangan memiliki faktor 6 maka bilangan itu mempunyai faktor 2 dan 3
Premis 2: 24 memiliki faktor 6
Konklusi: ?

Gunakan prinsip silogisme,
p ⇒ q (premis 1)
r ⇒ p (premis 2)
∴ r ⇒ q (konklusi)
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah r ⇒ q, yaitu '24 mempunyai faktor 2 dan 3'.

Soal 10)
Premis 1: Jika tidak membawa payung maka kehujanan
Premis 2: Jika kehujanan maka akan sakit
Premis 3: Jika sakit maka akan membeli obat
Premis 4: Jika membeli obat maka uang akan habis

Untuk penarikan kesimpulan, gunakan prinsip silogisme. Ubah dulu ke dalam simbol dan lakukan pencoretan pada dua pernyataan yang sama di dua premis berbeda.

Premis 1: p ⇒ q
Premis 2: q ⇒ r
Premis 3: r ⇒ s
Premis 4: s ⇒ t
Sehingga didapatkan kesimpulan adalah p ⇒ t, yaitu 'Jika tidak membawa payung maka uang akan habis'.

Demikian penarikan kesimpulan logika matematika beserta contoh soal dan pembahasannya. Semoga membantu.